Решебник по математике - Форум "Репетитор оценщика"
[ Новые сообщения · Участники · Правила форума · Поиск · RSS ]
Страница 1 из 11
Форум "Репетитор оценщика" » Иные дисциплины » Математика (помощь в решении задач) » Решебник по математике (Сборник решённых задач по математике)
Решебник по математике
ОценщиЦаДата: Понедельник, 06.04.2015, 21:46 | Сообщение # 1
Генерал-полковник
Группа: Администраторы
Сообщений: 832
Статус: Offline
В данной теме будут выкладываться типовые задачи по математике с решениями.
Эта тема является закрытой.

Помощь в решении задач по математике оказывается здесь

В связи с тем, что на форуме нет технической возможности писать сложные формулы, решения некоторых задач содержатся в прикрепленных к сообщению файлах.


Для заказа/покупки работы пишите на электронку: expert.rsa@mail.ru
Мы в Одноклассниках http://www.odnoklassniki.ru/group/54802694602774
Мы ВКонтакте http://vk.com/club80887874
 
ОценщиЦаДата: Понедельник, 06.04.2015, 22:16 | Сообщение # 2
Генерал-полковник
Группа: Администраторы
Сообщений: 832
Статус: Offline
Задача по математике:
О функции f(x), заданной на всей вещественной прямой,известно, что при любом a > 1 функция f(x) + f(ax) непрерывна на всей прямой. Докажите, что f(x) также непрерывна на всей прямой.

Решение задачи:
Мы воспользуемся следующими свойствами непрерывных функций:
   - сумма и разность непрерывных функций — непрерывные функции;
   - если g(x) — непрерывная функция, функция g(ax) также непрерывна.

Теперь заметим, что по условию непрерывны функции f(x) + f(2x) и f(x) + f(4x), а в силу свойства (2) вместе с функцией f(x) + f(2x) непрерывна и функция f(2x) + f(4x).
Далее, по свойству (1) непрерывна функция (f(x) + f(2x)) + (f(x) + f(4x)) – (f(2x) + f(4x)) = 2f(x), а, значит, и функция f(x).


Для заказа/покупки работы пишите на электронку: expert.rsa@mail.ru
Мы в Одноклассниках http://www.odnoklassniki.ru/group/54802694602774
Мы ВКонтакте http://vk.com/club80887874
 
ОценщиЦаДата: Понедельник, 06.04.2015, 22:18 | Сообщение # 3
Генерал-полковник
Группа: Администраторы
Сообщений: 832
Статус: Offline
Задача по математике:
Существуют ли действительные числа a, b и c такие,что при всех действительных x и y выполняется неравенство |x + a| + |x + y + b| + |y + c|  >  |x| + |x + y| + |y| ?

Решение:

Ответ: Нет.

Предположим, что такие числа a, b и c существуют.
Выберем x > 0 и y > 0 такие, что x + a ≥ 0, x + y + b ≥ 0, y + c ≥ 0.
Тогда разность между левой и правой частями равна a + b + c.
А если взять x < 0 и y < 0 такие, что x + a < 0, x + y + b < 0, y + c < 0, то эта разность будет равна  – a – b – c.
Таким образом, с одной стороны, a + b + c > 0, с другой a + b + c < 0.
Противоречие.


Для заказа/покупки работы пишите на электронку: expert.rsa@mail.ru
Мы в Одноклассниках http://www.odnoklassniki.ru/group/54802694602774
Мы ВКонтакте http://vk.com/club80887874
 
ОценщиЦаДата: Понедельник, 06.04.2015, 22:20 | Сообщение # 4
Генерал-полковник
Группа: Администраторы
Сообщений: 832
Статус: Offline
Задача по математике:
Клетки квадрата 50 × 50 раскрашены в четыре цвета. Докажите, что существует клетка, с четырех сторон от которой (то есть сверху, снизу, слева и справа) имеются клетки одного с ней цвета.

Решение

Предположим, что клетки квадрата n × n удалось раскрасить таким образом, что для любой клетки с какой-то стороны от неё нет клетки одного с ней цвета.
Рассмотрим тогда все клетки одного цвета и в каждой из них нарисуем стрелочку в том из четырёх направлений, в котором клетки того же цвета нет.
Тогда на каждую клетку «каёмки» нашего квадрата будет указывать не более одной стрелки.
Так как клеток каёмки всего 4n – 4, то и клеток каждого цвета не более 4n – 4.
С другой стороны, каждая из n² клеток нашего квадрата раскрашена в один из четырёх цветов, то есть n² ≤ 4(4n – 4).
Для решения задачи теперь достаточно заметить, что последнее неравенство неверно при n = 50.
Несложно убедиться, что оно неверно при всех n ≥ 15, и, следовательно,
утверждение задачи верно уже в квадрате 15 × 15 — а заодно и в любом большем квадрате.


Для заказа/покупки работы пишите на электронку: expert.rsa@mail.ru
Мы в Одноклассниках http://www.odnoklassniki.ru/group/54802694602774
Мы ВКонтакте http://vk.com/club80887874
 
ОценщиЦаДата: Понедельник, 06.04.2015, 22:22 | Сообщение # 5
Генерал-полковник
Группа: Администраторы
Сообщений: 832
Статус: Offline
Задача по математике:
Докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел, сложенное с единицей, есть точный квадрат.

Решение:

Пусть это 4 последовательных числа: n, n + 1, n + 2, n  + 3. Тогда n (n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n2  + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 = (n2  + 3n)2 + 2(n2  + 3n) + 1 = (n2  + 3n + 1)2.


Для заказа/покупки работы пишите на электронку: expert.rsa@mail.ru
Мы в Одноклассниках http://www.odnoklassniki.ru/group/54802694602774
Мы ВКонтакте http://vk.com/club80887874
 
ОценщиЦаДата: Понедельник, 06.04.2015, 22:24 | Сообщение # 6
Генерал-полковник
Группа: Администраторы
Сообщений: 832
Статус: Offline
Задача по математике:
Существует ли многогранник с нечетным числом граней, каждая из которых есть многоугольник с нечетным числом сторон? 

Решение:
Пусть такой многогранник существует. Обозначим за 1, 2, …, число ребер на гранях, тогда 1 + 2 + … – удвоенная сумма всех ребер многогранника, она – четная. А в левой части стоит нечетная сумма слагаемых, каждое из которых – нечетно. Получили противоречие. Значит, такого многогранника не существует.


Для заказа/покупки работы пишите на электронку: expert.rsa@mail.ru
Мы в Одноклассниках http://www.odnoklassniki.ru/group/54802694602774
Мы ВКонтакте http://vk.com/club80887874
 
ОценщиЦаДата: Понедельник, 06.04.2015, 22:25 | Сообщение # 7
Генерал-полковник
Группа: Администраторы
Сообщений: 832
Статус: Offline
Задача по математике:
В каждую клетку квадратной таблицы 25 x 25 вписано произвольным образом одно из чисел 1 или -1. Под каждым столбцом пишется произведение всех чисел, стоящих в этом столбце. Справа от каждой строки пишется произведение всех чисел, стоящих в этой строке. Докажите, что сумма 50 написанных произведений не может оказаться равной нулю.

Решение:

Найдем произведение всех 25 чисел, записанных под каждым столбцом и всех 25 чисел, записанных справа от строчек. Так как в этом произведении каждое из чисел квадратной таблицы входит по два раза, то произведение этих 50 произведений, в каждом из которых стоит по 25 множителей, будет положительным, т. е. равно 1. А так как произведение 50 чисел положительно, то отрицательных сомножителей будет четное число (2, 4, …, 50). Сумма же 50 произведений может быть нулем лишь в случае, когда 25 слагаемых равно 1, а 25 слагаемых равно - 1, т. е. слагаемых с - 1 должно быть нечетное число. А это значит, что сумма 50 написанных произведений не может равняться нулю.


Для заказа/покупки работы пишите на электронку: expert.rsa@mail.ru
Мы в Одноклассниках http://www.odnoklassniki.ru/group/54802694602774
Мы ВКонтакте http://vk.com/club80887874
 
ОценщиЦаДата: Понедельник, 06.04.2015, 22:27 | Сообщение # 8
Генерал-полковник
Группа: Администраторы
Сообщений: 832
Статус: Offline
Задача по математике:
Докажите, что уравнение  xy = 2006 (x+y) имеет решения в целых числах. 

Решение:
Преобразуем уравнение к следующему виду: (х – 2006)(у - 2006) = 20062.
Уравнение имеет решения, например, х = у = 4012.


Для заказа/покупки работы пишите на электронку: expert.rsa@mail.ru
Мы в Одноклассниках http://www.odnoklassniki.ru/group/54802694602774
Мы ВКонтакте http://vk.com/club80887874
 
ОценщиЦаДата: Понедельник, 06.04.2015, 22:27 | Сообщение # 9
Генерал-полковник
Группа: Администраторы
Сообщений: 832
Статус: Offline
Задача по математике:
Докажите, что если α, β, γ - углы произвольного треугольника, то справедливо тождество cos2α + cos2β + cos2γ + 2 cosα cosβ cosγ = 1.

Решение:
Преобразуем выражение в левой части равенства, учитывая, что α + β + γ = π, и применяя формулы: cos2x = (1 + cos2x)/2, cosx = - cos(π - x), cosx + cosy = (2cos((x + y)/2))cos((x - y)/2), получим справедливое тождество.


Для заказа/покупки работы пишите на электронку: expert.rsa@mail.ru
Мы в Одноклассниках http://www.odnoklassniki.ru/group/54802694602774
Мы ВКонтакте http://vk.com/club80887874
 
ОценщиЦаДата: Понедельник, 06.04.2015, 22:28 | Сообщение # 10
Генерал-полковник
Группа: Администраторы
Сообщений: 832
Статус: Offline
Задача по математике:
Докажите неравенство x2 - 3x3 < 1/6 на луче [1/4; + ∞).

Решение:
Пусть y = x2 – 3x3. Тогда y' = 2x – 9x2 и с помощью метода интервалов получаем, что y' < 0 при всех x>2/9. Но 1/4>2/9, следовательно, функция y(x) убывает на луче [1/4; +∞]. Это значит, что x2 - 3x3 < 1/16 - 3/64 = 1/64 < 1/64.


Для заказа/покупки работы пишите на электронку: expert.rsa@mail.ru
Мы в Одноклассниках http://www.odnoklassniki.ru/group/54802694602774
Мы ВКонтакте http://vk.com/club80887874
 
ОценщиЦаДата: Понедельник, 06.04.2015, 22:29 | Сообщение # 11
Генерал-полковник
Группа: Администраторы
Сообщений: 832
Статус: Offline
Задача по математике:
В прямоугольник 20 x 25 бросают 120 квадратов 1 x 1. Докажите, что в прямоугольник можно поместить круг с диаметром, равным 1, не имеющий общих точек ни с одним из квадратов.

Решение:
Окружим каждый квадрат полоской шириной 1/2. Образующие фигуры тоже квадраты со стороной 1 + 2 x 1/2 = 2, имеют площадь равную 4. Их общая площадь равна 4 x 120 = 480, в то время как искомая площадь равна 500. Следовательно, найдется точка, которая не покрыта построенными квадратами, но это значит, что она удалена от данных квадратов не меньше чем на по всем направлениям. Круг радиуса  с центром в этой точке не имеет общих точек  ни с одним из квадратов.


Для заказа/покупки работы пишите на электронку: expert.rsa@mail.ru
Мы в Одноклассниках http://www.odnoklassniki.ru/group/54802694602774
Мы ВКонтакте http://vk.com/club80887874
 
ОценщиЦаДата: Понедельник, 06.04.2015, 22:31 | Сообщение # 12
Генерал-полковник
Группа: Администраторы
Сообщений: 832
Статус: Offline
Задача по математике:
Составить две прогрессии: арифметическую и геометрическую, каждую из четырёх членов; при этом, если сложить одноимённые члены обеих прогрессий, то должны получиться числа: 27, 27, 39, 87.

Решение:

Пусть a, a + d, a + 2d, a + 3d — искомая арифметическая прогрессия, b, bq, bq2, bq3 — искомая геометрическая прогрессия. По условию
a + b = 27,
a + d + bq = 27,
a + 2d + bq2 = 39,
a + 3d + bq3 = 87.

Вычтем из второго уравнения первое, из третьего второе, из четвёртого третье:
d + b(q - 1) = 0,
d + bq(q - 1) = 12,
d + bq2(q - 1) = 48.

Из первого уравнения получаем b(q - 1) = - d; подставим это выражение во второе и третье уравнения:
d - dq = 12,
d - dq2 = 48.

Поделив последнее уравнение на предпоследнее, получим q = 3. Следовательно, d = - 6, b = 3 и a = 24.

Таким образом, искомые прогрессии — это
24, 18, 12, 6;
3, 9, 27, 81.


Для заказа/покупки работы пишите на электронку: expert.rsa@mail.ru
Мы в Одноклассниках http://www.odnoklassniki.ru/group/54802694602774
Мы ВКонтакте http://vk.com/club80887874
 
Форум "Репетитор оценщика" » Иные дисциплины » Математика (помощь в решении задач) » Решебник по математике (Сборник решённых задач по математике)
Страница 1 из 11
Поиск: